动态规划法
题目描述：给定n个矩阵{A1,A2....An}，其中Ai与Ai+1是可以相乘的，判断这n个矩阵通过加括号的方式相乘，使得相乘的次数最少!
以矩阵链ABCD为例
按照矩阵链长度递增计算最优值
矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值
矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值
矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值
矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值
动归方程：
分析:
k为矩阵链断开的位置
d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为首，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0
m数组内存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）
c语言实现代码：
#include <stdio.h>
#define N 20
void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){
int i,j,t,k;
int r; //记录相乘的矩阵个数变量
for(i=1;i<=n;i++){
m[i][i]=0; //当一个矩阵相乘时，相乘次数为 0
}
//矩阵个数从两个开始一次递增
for(r=2;r<=n;r++){
//从某个矩阵开始
for(i=1;i<=n-r+1;i++){
//到某个矩阵的结束
j=i+r-1;
//拿到从 i 到 j 矩阵连乘的次数
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
//拿到矩阵连乘断开的位置
s[i][j]=i;
//寻找加括号不同，矩阵连乘次数的最小值，修改 m 数组，和断开的位置 s 数组
for(k=i+1;k<j;k++){
t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<m[i][j]){
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
}
int main(void){
int n,n1,m1,i,j=2;
int p[N]={0}; //存储矩阵的行和列数组
int m[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘的最小次数
int s[N][N]={0}; //存储矩阵与矩阵相乘断开的位置
printf("请输入矩阵个数:\n");
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++){
printf("请输入第%d个矩阵的行和列(n1*m1 格式):",i);
scanf("%d*%d",&n1,&m1);
if(i==1){
p[0]=n1;
p[1]=m1;
}
else{
p[j++]=m1;
}
}
printf("\n记录矩阵行和列:\n");
for(i=0;i<=n;i++){
printf("%d ",p[i]);
}
printf("\n");
MatrixChain(p,n,m,s);
printf("\n矩阵相乘的最小次数矩阵为:\n");
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
printf("%d ",m[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n矩阵相乘断开的位置矩阵为:\n");
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
printf("%d ",s[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("矩阵最小相乘次数为:%d\n",m[1][n]);
return 0;
}
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